PARI使用介绍

本文介绍利用PARI/GP程序计算数域的一些代数量，代码主要参考[1]-[3].
PARI/GP官网为http://pari.math.u-bordeaux.fr，可安装后使用，也可在浏览器直接使用.

1.计算$\mathbb{Q}$添加一个多项式的根生成的域的类群.例如多项式为 $T = x^6-3\cdot x^5 + 5\cdot x^3-3\cdot x + 1 .$
输入

1
2
3

T = x^6 - 3*x^5 + 5*x^3 - 3*x + 1;
F = bnfinit(T);\\ the number field Q[x]/(T)
F.cyc

输出

%2 = []

表示类群是平凡的.

输入

T = x^4 + 13*x^2 - 12*x + 52;
F = bnfinit(T); \\ F = Q[x]/(T), together with class group
F.cyc
 %3 = [14] \\ output: Cl_F ~ Z/(14)

上面最后一行$\%3=14$表示输出结果,其中$3$表示第几个程序，不用关心，$14$表示输出结果：类群是$14$阶循环群.
注意加”;”时程序不会输出，不加”;”才能输出结果。在PARI中双斜杠“$\setminus\setminus$”表示注释。

一般来说,借助多项式T,可用 nfiniy() 函数生成一个域，但若考虑域代数结构时，一般用包含类群，单位群的 bnfinit() 函数。

PARI还可计算分歧指数,如下

T=x^6-3*x^5+5*x^3-3*x+1;
F=bnfint(T);
P2 = idealprimedec(F,2)[1]; \\ a prime above 2
[P2.e,P2.f]  \\ ramification index and residue degree
%1=[3,2]  \\ e(P/p)=3,f(P/p)=2
bnflogef(F,P2)
%2=[6,1]

上面$[6,1]$表示对数分歧指数，剩余类次数为$\widetilde{e}(P/p)=6,\widetilde{f}(P/p)=1.$

2.计算$\mathbb{Q}$添加两个多项式的根生成域的子群，例如计算 $\mathbb{Q} (\sqrt{-41},\xi_{9}+\xi_{9}^{-1})$ 的理想类群

程序如下：

T = polcompositum(x^2+41, x^3-3*x+1, 2);
F=bnfinit(T);
F.cyc
%4=[72,3] //Cl(F) ~ Z/(72) +Z/(3)

类群为$CL(F)\cong \mathbb{Z}/(72)\oplus \mathbb{Z}/(3)$.

3.计算对数类群.若$K$是一个数域，$l$是固定的素数，设 $\mathfrak{p}_{1},\cdots,\mathfrak{p}_{s}$ 表示$l$上的素数.用 $\widetilde{Cl}_{K}$ 表示$K$的关于素数$l$的对数类群，用 $\widetilde{Cl}(l)$ 表示所有在$l$上的素理想所在对数理想类在对数类群中生成的子群.
用$Cl’$表示商群 $Cl_{K}/<[\mathfrak{p}_{1}],\cdots,[\mathfrak{p}_{s}]>$ 的$l-sylow$子群.
定义映射

$\theta:\widetilde{Cl}\rightarrow Cl',\sum_{\mathfrak{p}}m_{\mathfrak{p}}\mapsto \prod_{\mathfrak{p}\nmid l}\mathfrak{p}^{(1/\lambda_{\mathfrak{p}})m_{\mathfrak{p}}.}$

其中 $\lambda_{\mathfrak{p}}=\frac{\widetilde{e_{\mathfrak{p}}}}{e_{\mathfrak{p}}}.$
则有正合列

$0\rightarrow \widetilde{Cl}(l)\rightarrow \widetilde{Cl}\stackrel{\theta}{\rightarrow }Cl'\rightarrow Coker\theta \rightarrow 0.$

PARI中对函数\textbf{bnflog}输入一个数域$F$及一个素数$l$,其返回值为$(\widetilde{Cl},\widetilde{Cl}(l),Cl’),$
例如输入

T=x^3+6*x-1;
F=bnfinit(T);
bnflog(F,3)
%5= [[], [], []]

表明3-对数类群及其他两个群都是平凡的.

下设$F$是一个代数数域，一些PARI命令如下.

PARI代码	含义
F=bnfinit(T)	用不可约多项式T生成域：F= Q[x]/(T)
F.cyc	代数数域F的类数
F.zk	数域F的整基,输出结果中含有一个变量，表示定义域F的多项式T的一个根
F.disc	数域F的判别式
left(F.tu)	数域F单位群的单位根部分
left(F.fu)	数域F单位群的自由部分部分，输出为基本单位(输出结果中含有一个变量，表示定义域F的多项式T的一个根)
polisirreducible(f)	判断整数环上首一多项式f是否为不可约多项式，若是：返回1;否则，返回0
dec = idealprimedec(K,5);#dec	数域K中在5上素理想的个数;此时若再输入[pr1,pr2]=dec,则pr1,pr2分别表示5上的第一个和第二个素理想,pr1.f,pr1.e分别表示其剩余类域扩张次数和分歧指数

命令	含义
poldisc(f)	多项式f的判别式
polroots(f)	多项式f的根
polrootsreal(f,{[a, b]})	多项式f(在区间[a,b]中)的实根

当然PARI还有许多功能，可见网站中Help/community下的Tutorials页面。

参考资料：

1.PARI官网.Algebraic number theory with GP.
2.PARI官网.PARI基本的函数.
3.Karim Belabas,Jean-Francois Jaulent,.The logarithmic class group package in PARI/GP