多元多项式的带余除法 发表于 2021-07-17 更新于 2022-05-16 命题:设K是域,f(x1,⋯,xn)∈K[x1,⋯,xn]是n元多项式,对于任意K中n个元素a1,⋯,an∈K,存在fi∈K[x1,⋯,x2](i=1,⋯,n),c∈K使得 f(x1,⋯,xn)=f1⋅(x1−a1)+⋯+fn⋅(xn−an)+c. 证明: 对f(x1,⋯,xn)的次数(即f中所有单项式的最高次数)归纳. 若deg(f)=1,即f有形式 f(x1,⋯,xn)=∑i=1nbixi+c0,则 f(x1,⋯,xn)=∑i=1nbi(xi−ai)+(∑i=1naibi+c0).即n=1时命题成立. 下面设n=k时命题成立。若deg(f)=k+1,则f首先可以写成形式 f=x1f1+⋯+xnfn+c0,其中deg(fi)≤k,i=1,⋯,n. 根据归纳法,存在fi,j∈K[x1,⋯,xn](i,j=1⋯,n),ci∈K,使得fi=∑j=1nfi,j⋅(xj−aj)+ci. 于是 f=∑i=1nxi(∑j=1nfi,j(xj−aj))+∑i=1nxici+c0=∑j=1n(∑i=1nxifi,j)(xj−aj)+∑j=1ncj(xj−aj)+∑k=1nakck+c0=∑j=1n(∑i=1nxifi,j+cj)(xj−aj)+∑k=1nakck+c0.令 gj=∑i=1nxifi,j+cj(j=1,⋯,n),c=∑k=1nakck+c0.则f=∑j=1ngj(xj−aj)+c.归纳成立.