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多元多项式的带余除法

命题:设K是域,f(x1,,xn)K[x1,,xn]n元多项式,
对于任意Kn个元素a1,,anK,存在fiK[x1,,x2](i=1,,n),cK使得

f(x1,,xn)=f1(x1a1)++fn(xnan)+c.

证明: 对f(x1,,xn)的次数(即f中所有单项式的最高次数)归纳.

deg(f)=1,f有形式

f(x1,,xn)=i=1nbixi+c0,

f(x1,,xn)=i=1nbi(xiai)+(i=1naibi+c0).

n=1时命题成立.

下面设n=k时命题成立。若deg(f)=k+1,f首先可以写成形式

f=x1f1++xnfn+c0,

其中deg(fi)k,i=1,,n.

根据归纳法,存在fi,jK[x1,,xn](i,j=1,n),ciK,使得fi=j=1nfi,j(xjaj)+ci.

于是

f=i=1nxi(j=1nfi,j(xjaj))+i=1nxici+c0=j=1n(i=1nxifi,j)(xjaj)+j=1ncj(xjaj)+k=1nakck+c0=j=1n(i=1nxifi,j+cj)(xjaj)+k=1nakck+c0.

gj=i=1nxifi,j+cj(j=1,,n),c=k=1nakck+c0.

f=j=1ngj(xjaj)+c.归纳成立.